Matematikari askok zaletasuna izan dute jokoetan aritzeko, bai jokoak praktikatzeko, bai jokoak ikuspuntu matematikotik aztertzeko, baita jokoak asmatzeko ere. Horietako bat dugu Éduard Lucas (1842-1891) matematikari frantsesa.

Lucasek lau liburu idatzi zituen joko matematikoen inguruan Récréations mathématiques (1882-1894) izenarekin. Hirugarren liburuan, 55. orrialdean, La Tour de Hanoï izeneko jokoa azaldu zuen. Hona hemen Lucasen testu osoa:

HANOIKO DORREA

Gure lagun batek, N. Claus (Siam-ekoa) irakasleak, Li-Sou-Stian ikastetxeko mandarinak, iazko urte amaieran, joko berri bat argitaratu zuen, Hanoiko Dorrea izenekoa, benetako buru-hausgarri annamdarra (15. irudia), ez dena Tonkin-etik ekarri, prospektuan esaten denaren kontra. Dorre hori gainjarritako eta txikituz doazen solairuz osatuta dago, kopuru aldakorrean, zurezko zortzi fitxaz irudikatuta, erdian zulatuta eta ohol batean finkatutako hiru iltzetako batean sartuta. Jokoa dorrea mugitzean datza, fitxak beste bi iltzeetako batean sartuz eta aldi berean solairu bakarra mugituz, baina debekatuta dago solairu bat beste txikiago baten gainean jartzea. Jokoa beti da posible eta denbora bikoitza eskatzen du dorreari solairu bat gehitzen zaion bakoitzean. Izan ere, zortzi solairurako problema ebazten badakigu, adibidez, dorrea lehen iltzetik bigarrenera eramanez, bederatzi solairurako ebazten jakingo dugu. Lehenik, goiko zortzi solairuak hirugarren iltzera eramaten dira; ondoren, bederatzigarren solairua bigarren iltzera, eta azkenik, lehen zortzi solairuak iltze horretara. Beraz, dorreari solairu bat gehitzean, urrats kopurua bikoiztu egiten da, gehi bat. Honela:

       Bi solairuko dorre baterako, gutxienez 3 urrats behar dira.

–             hiru         –           7               –

–             lau          –         15               –

–             bost         –         31               –

–             sei           –         63               –

–             zazpi       –       128               –

–             zortzi       –       255               –

Urrats bat segundoko, lau minutu baino gehiago (55) behar dira zortzi solairuko dorrea mugitzeko. Hanoiko hirurogeita lau solairuko dorrearen garraioa jokoaren arauei jarraituz gauzatzeko,

18446744073709551615

mugimendu kopuru egin beharko litzateke; horrek bost mila milioi mende baino gehiago eskatuko lituzke!

Idatzi berri dugun kopuru harrigarria hirurogeita lau eraztuneko ikara-otsoaren teorian ere aurkitzen da. Kopuru hori indiarrek ezagutzen zuten; izan ere, Asaphad idazleak dioenez, Sessa-k, Daher-en semeak, xakearen jokoa irudikatu zuen, non erregeak, piezarik garrantzitsuena izan arren, ezin duen urrats bat eman bere mendekoen, peoien, laguntzarik gabe, Scheran monarka indiarrari gobernatzeko erabili behar zituen justizia eta ekitate printzipioak gogorarazteko asmoz. Scheran liluratuta zegoen hain modu burutsuan emandako ikasgaiaz, eta asmatzaileari agindu zion nahi zuen guztia emango ziola sari gisa. Hark erantzun zuen: “Berorren Maiestateak gari ale bat eman diezadala xake-taulako lehen laukirako, bi bigarrenerako, lau hirugarrenerako, eta horrela bikoiztuz segi hirurogeita laugarren laukiraino”. Zortzi aldiz Lurraren azalera beharko litzateke, osorik ereinda, urte batean brahman apalaren nahia asetzeko adina izateko. Gari aleen kopurua Hanoiko dorrearen hirurogeita lau solairuko mugimenduen kopuruaren berdina da.

 

BRAHMAK ERORIKO DIRA!

N. Claus mandarinak (Siamekoa) kontatzen digu, Fer-Fer-Tam-Tam ospetsuaren idazkiak argitaratzeko bidaietan, Benaresko tenplu handian, munduaren erdigunea markatzen duen kupularen azpian, brontzezko harlauza batean sartuta zeuden diamantezko hiru orratz ikusi zituela, ukalondo bateko altuera eta erle baten gorputzaren lodiera zutenak. Orratz horietako batean, Jainkoak, mendeen hasieran, urre hutsezko hirurogeita lau disko sartu zituen, zabalena brontzearen gainean pausatuz, eta besteak, gero eta estuagoak, gailurreraino gainjarriak. Brahma-ren dorre sakratua da. Gau eta egun, apaizak aldareko harmailaletan txandakatzen dira, diamantezko lehen orratzetik hirugarrenera dorrea eramaten lanpeturik, aipatu berri ditugun eta Brahmak inposatu dituen arau finkoetatik aldendu gabe. Dena amaitzen denean, dorrea eta brahmak eroriko dira, eta hori izango da munduen amaiera!

Joko bitxi eta original honen teoria garatzeko asmoa izan dugu; ohartarazpen garrantzitsu hau egingo dugu, sistema bitarrean zenbakien eraketa oraindik adierazten duela. Jokoaren maniobra sinplifikatzen dugu ohar interesgarri honen laguntzaz, lehen aldiz asmatzailearen ilobak, Raoul Olive jaunak, Charlemagne lizeoko ikasleak, egin zuena: disko txikiena beti norabide berean biratzen da bi urratsetik behin; horrek aukera ematen du beti arrakasta izateko, haztamuka ibili gabe. Baina jokoa zaildu daiteke lehenik zortzi solairuak edozein ordenatan jarriz. Ziri kopurua handituz eta jokoaren arauak pixka bat aldatuz, erraz lortuko genituzke zenbakitze-sistema guztien irudikapenak. Printzipio berberak erabiliz, kutxa gotorrak ixteko zerrapo askaezinen sistema berriak aurkitu ahal izan ditugu.

Atzerriko industriak gure lagunaren jokoa eta kondaira bereganatu ditu duela gutxi; baina esan dezakegu dena irudikatu zela, duela denbora bat jada, Parisko Monge kaleko 56. zenbakian, 1662ko abuztuaren 19an Pascal hil zen etxearen kokalekuan eraikitako etxean.

 

Horra hor, beraz, Hanoiko dorrearen jokoaren aurkezpena. Lucasek ematen duen 18₃446.744₂073.709₁551.615 kopurua segundoak balira, aldaketa osoa burutzeko, 584.9421417.200 urte, gutxi gorabehera, beharko dira. Lurrak 3.000 milioi urte dituela kontuan hartuz, ez dirudi munduaren bukaeratik oso gertu gaudenik. Bestalde, zenbaki erraldoi hori  eran ere idatz daiteke. Hanoiko dorrean n solairu baleude, behar diren mugimendu kopurua Mersenne-ren  zenbakia da. Zenbaki horiek aztertu zituen Lucasek zenbaki lehenak ziren edo ez zehazteko, eta horretarako irizpide bat eman zuen.

Ez dakigu Lucasek ematen duen kondaira berak asmatua den edo ez, baina jokoarekin batera saltzen zen istorioan Kashi Vishwanath tenplua agertzen zen. Tenplu horretan Xivak erronka bat jarri zien Vixnuri eta Brahmari. Erronkak ez du zerikusirik dorrearekin, baina Xivak hirurogeita lau itxura desberdin har dezake. Eta hortik atera zezakeen Lucasek solairuen kopurua.

Lucasek, berak, jokoaren aldaera bat proposatu zuen; guk hemen ateoen dorrea deitu duguna, hain zuzen.

Azkenik, jokoaren asmatzailearen izena, N. Claus (Siam-ekoa), “Lucas d'Amiens”-en anagrama da.